矩阵的初等变换

Elementary Matrix Transformations

初等变换

初等行变换：只对行进行变换
初等列变换：只对列进行变换
初等变换：既对行又对列进行变换

• 对换两行/列，$r_i\leftrightarrow r_j$ $c_i\leftrightarrow c_j$
• 以数 $k$ 乘某一行/列中的所有元 $r_i\times k$ $c_i\times k$
• 将某一行/列所有元的 $k$ 倍加到另一行/列对应的元上， $r_i+k{r}_j$ $c_i+k{c}_j$

矩阵 $A$ 经过有限次初等变换得到矩阵 $B$，称为矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价 $A\sim B$

非零矩阵——行阶梯形矩阵——行最简形矩阵——标准型

• 行阶梯形矩阵：
  非零行在零行的上面
  非零行的首元所在列在上一行的首元所在列的右边
• 行最简形矩阵：
  行阶梯形矩阵的非零行的首元为 1
  首元所在列的其他元素为 0
• 标准型：对行最简形矩阵施加初等列变换

逆矩阵

$A$ 和 $B$ 为 $m\times n$ 阶的矩阵

1. $A$ 经过初等行变换得到 $B$ 的充分必要条件为：
   存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $PA=B$
   对矩阵 $A$ 施加一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以初等矩阵

2. $A$ 经过初等列变换得到 $B$ 的充分必要条件为：
   存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $AQ=B$
   对矩阵 $A$ 施加一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以初等矩阵

3. $A$ 经过初等变换得到 $B$ 的充分必要条件为：
   存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 、 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $PAQ=B$